已知等差数列{an}的公差与等比数列{bn}的公比都是d，（d≠0，d≠1）且a1=b1，a4=b4，a10=b10．（1）求a1与d，并分别写出这两个数列的通项公式．（2）b16是不是{an}中的项？若是，为第几项？若不

Question

已知等差数列{a_n}的公差与等比数列{b_n}的公比都是d，（d≠0，d≠1）且a₁=b₁，a₄=b₄，a₁₀=b₁₀．
（1）求a₁与d，并分别写出这两个数列的通项公式．
（2）b₁₆是不是{a_n}中的项？若是，为第几项？若不是，说明理由．

Answer 1

（1）a₄=a₁+3d，b₄=b₁•d³，∴a₁+3d=a₁d³，∴a1＝(3d)/(d3−1)，
∵a₁₀=a₁+9d，b₁₀=a₁•d⁹，∴a₁+9d=a₁•d⁹
a1＝(9d)/(d9−1)，
∴(3d)/(d3−1)＝(9d)/(d9−1)，∴d⁹-1=3d³-3，
∴（d³-1）（d⁶+d³+1）-3（d³-1）=0，
∵d≠1，∴d⁶+d³-2=0，∴d³=-2．
∴d＝−

3

2

，a1＝(−332)/(−3)＝

3

2

．
an＝a1+(n−1)d＝(2−n)

3

2

，
bn＝

3

2

•(−

3

2

)n−1．
（2）b16＝a1d15＝

3

2

(−

3

2

)15＝−32

3

2

an＝a1+(n−1)d＝(2−n)

3

2

，
由(2−n)

3

2

＝−32

3

2

得n=34．
∴b₁₆是{a_n}中的项，为第34项．