（2000•天津）如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°．（1）证明：C1C⊥BD；（2）假定CD=2，CC1=32，记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角α-BD-β的平面角的余弦

Question

（2000•天津）如图，已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=60°．
（1）证明：C₁C⊥BD；
（2）假定CD=2，CC₁=(3)/(2)，记面C₁BD为α，面CBD为β，求二面角α-BD-β的平面角的余弦值；
（3）当(CD)/(CC1)的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD？请给出证明．

Answer 1

（1）证明：如图：
连接AC、设AC和BD交于O，连接C₁O
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD=CD．
又∵∠BCC₁=∠DCC₁，C₁C=C₁C，
∴△C₁BC≌△C₁DC
∴C₁B=C₁D，
∵DO=OB
∴C₁O⊥BD，
但AC⊥BD，AC∩C₁O=O，
∴BD⊥平面AC₁C，
又C₁C⊂平面AC₁C
∴C₁C⊥BD．
（2）由（1）知AC⊥BD，C₁O⊥BD，
∴∠C₁OC是二面角α-BD-β的平面角．
在△C₁BC中，BC=2，C₁C=(3)/(2)，∠BCC₁=60°，
∴C₁B²=2²+（(3)/(2)）²-2×2×(3)/(2)×cos60°=(13)/(4)
∵∠OCB=30°，
∴OB=(1)/(2)BC=1．
∴C₁O²=C₁B²-OB²=(13)/(4)−1＝(9)/(4)，
∴C₁O=(3)/(2)即C₁O=C₁C．
作C₁H⊥OC，垂足为H．
∴点H是OC的中点，且OH=(√(3))/(2)，
所以cos∠C₁OC=(OH)/(C1O)=(√(3))/(3)．
（3）如图：
当(CD)/(CC1)=1时，能使A₁C⊥平面C₁BD
由（1）知，BD⊥平面AC₁C，
∵A₁C⊂平面AC₁C，∴BD⊥A₁C
当(CD)/(CC1)=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，
同BD⊥A₁C的证法可得BC₁⊥A₁C，
又BD∩BC₁=B，
∴A₁C⊥平面C₁BD．