已知锐角△ABC的三个内角A、B、C对边分别是a、b、c,且a+b/cosA+cosB=c/cosC1）求证：角A、C、B成等差数列2）若角A是△ABC的最大内角,求cos（B+C）+√3sinA的取值范围.

Question

已知锐角△ABC的三个内角A、B、C对边分别是a、b、c,且a+b/cosA+cosB=c/cos
C
1）求证：角A、C、B成等差数列
2）若角A是△ABC的最大内角,求cos（B+C）+√3sinA的取值范围.

Answer 1

证明：（1）由CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc
将a+b/cosA+cosB=c/cosC 中的cos项都用余弦定理中a,b,c替换,化简得 c^2=a^2+b^2-ab,再结合c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC 可知2cosC=1,在锐角三角形中,C∈（0,π／2）,所以C=π／3,所以A+B=π-π/3=2π/3,即A+B=2C,所以角A,B,C成等差数列
（2）cos(B+C)=cos(π-A)=-cosA,A∈[π／3,π／2)
cos(B+C)+3^1/2sinA=-cosA+3^1/2sinA=2sin(A-π／6)
∵A∈[π／3,π／2)
∴(A-π／6)∈[π／6,π／3)
∴sin(A-π／6)∈[1/2,(3^1/2)/2)
∴2sin(A-π／6)∈[1,3^1/2)
即cos(B+C)+3^1/2sinA的取值范围是[1,3^1/2)