已知圆C：x2+y2-2x+4my+4m2=0，圆C1：x2+y2=25，以及直线l：3x-4y-15=0．（1）求圆C1：x2+y2=25被直线l截得的弦长；（2）当m为何值时，圆C与圆C1的公共弦平行于直线l；（3）是否存在m，使得圆C被直线l

Question

已知圆C：x²+y²-2x+4my+4m²=0，圆C₁：x²+y²=25，以及直线l：3x-4y-15=0．
（1）求圆C₁：x²+y²=25被直线l截得的弦长；
（2）当m为何值时，圆C与圆C₁的公共弦平行于直线l；
（3）是否存在m，使得圆C被直线l所截的弦AB中点到点P（2，0）距离等于弦AB长度的一半？若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）因为圆C1：x2+y2=25的圆心O（0，0），半径r=5，
所以，圆心O到直线l：3x-4y-15=0的距离d：d=(|3×0-4×0-15|)/(√(32+42))=3，由勾股定理可知，
圆C1：x2+y2=25被直线l截得的弦长为2√(r2-d2)=2√(25-9)=8．…（4分）
（2）圆C与圆C₁的公共弦方程为2x-4my-4m²-25=0，
因为该公共弦平行于直线3x-4y-15=0，
则(2)/(3)=(-4m)/(-4)≠(-25)/(-5)，
解得：m=(2)/(3)…（7分）
经检验m=(2)/(3)符合题意，故所求m=(2)/(3)；    …（8分）
（3）假设这样实数m存在．
设弦AB中点为M，由已知得|AB|=2|PM|，即|AM|=|BM|=|PM|
所以点P（2，0）在以弦AB为直径的圆上． …（10分）
设以弦AB为直径的圆方程为：x²+y²-2x+4my+4m²+λ（3x-4y-15）=0，
则

22-2×2+4m2+λ(3×2-15)=0

3×(2-3λ)/(2)-4×(4λ-4m)/(2)-15=0

⇒

4m2-9λ=0

16m-25λ-24=0

<

作业帮用户 2017-05-13