（2014•洛阳二模）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1⊥底面ABCD，AB=22，AA1=4，E为AA1上一点，且A1E=3EA．（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面C1BD；（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD与四棱锥C1-ABCD公

Question

（2014•洛阳二模）如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为正方形，AA₁⊥底面ABCD，AB=2√(2)，AA₁=4，E为AA₁上一点，且A₁E=3EA．
（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面C₁BD；
（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD与四棱锥C₁-ABCD公共部分的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接AC交BD于O，连接EO，C₁O，
∵四边形ABCD为正方形，AB=2√(2)，
∴AC=4，AO=(1)/(2)AC=2，
∵A₁A=4，AE=3EA，
∴EA=1，
∴tan∠EOA=(1)/(2)，tan∠C₁OC=2，
∴∠EOA+∠C₁OC=90°，
∴EO⊥OC₁，
∵ED=3，EB=3，
∴ED=EB，
∴在△EBD中，EO⊥BD
∴EO⊥平面BDC₁．
又EO⊂平面BDE
∴平面C₁BD⊥平面BDE．
（Ⅱ）设EC与AC₁交点为F，则四棱锥E-ABCD与四棱锥C₁-ABCD公共部分为四棱锥F-ABCD，
在矩形A₁ACC₁中，(CF)/(EF)＝(CC1)/(AE)=4，∴(CF)/(CE)=(4)/(5)，
∴F到AC的距离d=(4)/(5)AE=(4)/(5)，
∴F到平面ABCD的距离为(4)/(5)，
∴四棱锥F-ABCD的高为(4)/(5)，
∴V_F-ABCD=(1)/(3)•(2√(2))2•(4)/(5)=(32)/(15)，
∴四棱锥E-ABCD与四棱锥C₁-ABCD公共部分的体积为(32)/(15)．