若正整数a、b、c满足a3+b3+c3-3abc=0，则（）A.a=b=cB.a=b≠cC.b=c≠aD.c两两不等

Question

若正整数a、b、c满足a³+b³+c³-3abc=0，则（　　）
A. a=b=c
B. a=b≠c
C. b=c≠a
D. c两两不等

Answer 1

原式=（a+b）³-3ab（a+b）+c³-3abc
=[（a+b）³+c³]-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）[（a+b）²-c（a+b）+c²]-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca），
∵a，b，c为正数，
∴a+b+c＞0，
即可得a²+b²+c²-ab-ac-bc=0，2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=0，
∴（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0，
∵（a-b）²≥0，（a-c）²≥0，（b-c）²≥0，
∴只有（a-b）²=0，（a-c）²=0，（b-c）²=0，
∴a=b=c．
故选A．