如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是[63，1][63，1]．

Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC₁上，直线OP与平面A₁BD所成的角为α，则sinα的取值范围是

[(√(6))/(3)，1]

[(√(6))/(3)，1]

．

Answer 1

由题意可得：直线OP于平面A₁BD所成的角α的取值范围是[∠AOA₁，(π)/(2)]∪[∠C₁OA₁，(π)/(2)]．
不妨取AB=2．
在Rt△AOA₁中，sin∠AOA₁=(AA1)/(A1O)=(2)/(√(22+2))=(√(6))/(3)．
sin∠C₁OA₁=sin（π-2∠AOA₁）=sin2∠AOA₁=2sin∠AOA₁cos∠AOA₁=2×(√(6))/(3)×(√(3))/(3)=(2√(2))/(3)＞(√(6))/(3)