在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BB1=BC=1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB．（Ⅰ）求证：平面EDB⊥平面EBC；（Ⅱ）A1C1和BD1所成的角的余弦值．

Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BB₁=BC=1，E为D₁C₁的中点，连接ED，EC，EB和DB．
（Ⅰ）求证：平面EDB⊥平面EBC；
（Ⅱ）A₁C₁和BD₁所成的角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）∵Rt△D₁DE中，DD₁=D₁E=1
∴DE=√(DD12+D1E2)=√(2)，同理可得CE=√(2)，
∵DC=2，∴DE²+CE²=4=DC²，可得DE⊥EC
又∵BC⊥平面CC₁D₁D，DE⊂平面CC₁D₁D，∴DE⊥BC，
∵BC、CE是平面EBC内的相交直线，∴DE⊥平面EBC，
又∵DE⊂平面EDB，∴平面EDB⊥平面EBC-----------------------（6分）
（Ⅱ）连接AC，交DB于O点，取DD₁的中点F，连接OF，
∵△BDD₁中，O、F分别是BD、DD₁的中点，∴OF∥BD₁，
又∵AC∥A₁C₁，∴∠AOF（或其补角）就是异面直线A₁C₁和BD₁所成的角，----（8分）
Rt△ADF中，AF=√(AD2+DF2)=(√(5))/(2)，矩形ABCD中，AO=(1)/(2)AC=(1)/(2)√(AB2+BC2)=(√(5))/(2)
∵长方体的对角线BD₁=

作业帮用户 2016-11-27

为您推荐：

问题解析

（Ⅰ）在矩形C₁D₁DC中，根据勾股定理及其逆定理算出DE⊥EC，再由线面垂直的性质得到DE⊥BC，从而得到DE⊥平面EBC，结合面面垂直判定定理即可证出平面EDB⊥平面EBC；
（II）连接AC交DB于O点，取DD₁的中点F，连接OF．根据平行四边形和三角形中位线定理，可得∠AOF（或其补角）就是异面直线A₁C₁和BD₁所成的角．利用三角形中位线定理和勾股定理，分别算出AF=AO=(√(5))/(2)，OF=(√(6))/(2)，最后根据余弦定理算出cos∠FOA，即得A₁C₁和BD₁所成的角的余弦值．

名师点评

本题考点：

异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．

考点点评：

本题给出特殊长方体，求证面面垂直并求异面直线所成的角，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质，异面直线所成角的定义及其求法等知识，属于基础题．

广告

扫描下载二维码

©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议