如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为．

Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 中，E为BC的中点，点P在线段D ₁ E上，点P到直线CC ₁ 的距离的最小值为______．

Answer 1

如图所示，取B ₁ C ₁ 的中点F，连接EF，ED ₁ ，


∵ EF

∥

.

C C 1 ，CC ₁ ⊥底面ABCD，∴四边形EFC ₁ C是矩形．
∴CC ₁ ∥ EF，
又EF⊂平面D ₁ EF，CC ₁ ⊄平面D ₁ EF，∴CC ₁ ∥ 平面D ₁ EF．
∴直线C ₁ C上任一点到平面D ₁ EF的距离是两条异面直线D ₁ E与CC ₁ 的距离．
过点C ₁ 作C ₁ M⊥D ₁ F，
∵平面D ₁ EF⊥平面A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ ．
∴C ₁ M⊥平面D ₁ EF．
过点M作MP ∥ EF交D ₁ E于点P，则MP ∥ C ₁ C．
取C ₁ N=MP，连接PN，则四边形MPNC ₁ 是矩形．
可得NP⊥平面D ₁ EF，
在Rt△D ₁ C ₁ F中，C ₁ M•D ₁ F=D ₁ C ₁ •C ₁ F，得 C 1 M=(2×1)/(22 + 12) = (25)/(5) ．
∴点P到直线CC ₁ 的距离的最小值为 (25)/(5) ．
故答案为 (25)/(5)