设区域D={（x，y）|x2+y2≤1，x≥0}，计算二重积分∫∫D1+xy1+x2+y2dxdy．

Question

设区域D={（x，y）|x²+y²≤1，x≥0}，计算二重积分

∫∫

D

(1+xy)/(1+x2+y2)dxdy．

Answer 1

∬

D

(1+xy)/(1+x2+y2)=

∬

D

(1)/(1+x2+y2)+

∬

D

(xy)/(1+x2+y2)
∵区域内的对称性质
∴

∬

D

(xy)/(1+x2+y2)＝0
把另外一部分二重积分转化为极坐标积分
∴

∬

D

(1)/(1+x2+y2)=

∫	(π)/(2) −(π)/(2)

dθ

∫

1 0

(r)/(1+r2)dr
=(π)/(2)ln(1+r2)

|

1 0

=(π)/(2)ln2