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如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、DC的中点.(Ⅰ)求异面直线AE与D1F所成的角;(Ⅱ)证明:AE⊥平面A1D1F.
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如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、DC的中点.
(Ⅰ)求异面直线AE与D1F所成的角;
(Ⅱ)证明:AE⊥平面A1D1F.
(Ⅰ)求异面直线AE与D1F所成的角;
(Ⅱ)证明:AE⊥平面A1D1F.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)如图,设正方体的棱长为1,建立空间直角坐标系D-xyz,
则A(1,0,0),E(1,1,
),F(0,
,0),D1(0,0,1),
∴
=(0,1,
),
=(0,
,−1),
∵
•
=0,∴
⊥
,
∴异面直线AE与D1F所成的角为90°.
(Ⅱ)证明:∵
=
=(1,0,0),
∴
•
=0,
∴AE⊥D1A1,由(Ⅰ)知AE⊥D1F,且D1F∩D1A1=D1,
∴AE⊥平面A1D1F.
则A(1,0,0),E(1,1,
1 |
2 |
1 |
2 |
∴
AE |
1 |
2 |
D1F |
1 |
2 |
∵
AE |
D1F |
AE |
D1F |
∴异面直线AE与D1F所成的角为90°.
(Ⅱ)证明:∵
DA |
D1A1 |
∴
D1A1 |
AE |
∴AE⊥D1A1,由(Ⅰ)知AE⊥D1F,且D1F∩D1A1=D1,
∴AE⊥平面A1D1F.
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