如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DC的中点．（Ⅰ）求异面直线AE与D1F所成的角；（Ⅱ）证明：AE⊥平面A1D1F．

Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、DC的中点．
（Ⅰ）求异面直线AE与D₁F所成的角；
（Ⅱ）证明：AE⊥平面A₁D₁F．

Answer 1

（Ⅰ）如图，设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系D-xyz，
则A（1，0，0），E（1，1，(1)/(2)），F（0，(1)/(2)，0），D₁（0，0，1），
∴

AE

＝(0，1，(1)/(2))，

D1F

＝(0，(1)/(2)，−1)，
∵

AE

•

D1F

=0，∴

AE

⊥

D1F

，
∴异面直线AE与D₁F所成的角为90°．
（Ⅱ）证明：∵

DA

＝

D1A1

＝(1，0，0)，
∴

D1A1

•

AE

＝0，
∴AE⊥D₁A₁，由（Ⅰ）知AE⊥D₁F，且D₁F∩D₁A₁=D₁，
∴AE⊥平面A₁D₁F．