设函数f(x,y)在平面区域D上连续,并在任意一个小区域σ上∫∫σf(x,y)dσ=0,证明:在D内f(x,y)≡0∫∫σ中σ是下标

Question

设函数f(x,y)在平面区域D上连续,并在任意一个小区域σ上∫∫σf(x,y)dσ=0,证明:在D内f(x,y)≡0
∫∫σ中σ是下标

Answer 1

用反证法.
若f(x,y)在D内不恒等于0,在点(x0,y0),不妨设f(x0,y0)>0,由连续性,得出存在包含点(x0,y0)的有界闭区域D0属于D,使得在D0内f(x,y)>0,得出：D0上∫∫f(x,y)dσ>0
与已知矛盾,则命题成立