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如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点.(1)求证:PQ∥平面DCC1D1;(2)求证:AC⊥EF.
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如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点.
(1)求证:PQ∥平面DCC1D1;
(2)求证:AC⊥EF.
(1)求证:PQ∥平面DCC1D1;
(2)求证:AC⊥EF.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)如图所示,连接AC,CD1,
∵P,Q分别为AD1、AC的中点,∴PQ∥CD1,
∵CD1⊂平面DCC1D1,PQ⊄平面DCC1D1,
∴PQ∥平面DCC1D1.
(2)如图,作CD中点H,连接EH,FH,
∵F,H分别是CD,C1D1的中点,∴在平行四边形CDD1C1中,FH
D1D,
∵D1D⊥面ABCD,∴FH⊥面ABCD,
∵AC⊂面ABCD,∴AC⊥FH,
又∵E,H分别为BC、CD的中点,
∴EH∥DB,
∵AC⊥BD,∴AC⊥平面EFH,
∵EF⊂平面EFH,∴AC⊥EF.
∵P,Q分别为AD1、AC的中点,∴PQ∥CD1,
∵CD1⊂平面DCC1D1,PQ⊄平面DCC1D1,
∴PQ∥平面DCC1D1.
(2)如图,作CD中点H,连接EH,FH,
∵F,H分别是CD,C1D1的中点,∴在平行四边形CDD1C1中,FH
∥ |
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∵D1D⊥面ABCD,∴FH⊥面ABCD,
∵AC⊂面ABCD,∴AC⊥FH,
又∵E,H分别为BC、CD的中点,
∴EH∥DB,
∵AC⊥BD,∴AC⊥平面EFH,
∵EF⊂平面EFH,∴AC⊥EF.
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