（2014•安徽）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q．（Ⅰ）证明：Q为BB1的中点；（Ⅱ）求此四棱柱被

Question

（2014•安徽）如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A₁、C、D三点的平面记为α，BB₁与α的交点为Q．
（Ⅰ）证明：Q为BB₁的中点；
（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；
（Ⅲ）若AA₁=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，
∴平面QBC∥平面A₁D₁DA，
∴平面A₁CD与面QBC、平面A₁D₁DA的交线平行，∴QC∥A₁D
∴△QBC∽△A₁AD，
∴(BQ)/(BB1)＝(BQ)/(AA1)＝(BC)/(AD)=(1)/(2)，
∴Q为BB₁的中点；
（Ⅱ）连接QA，QD，设AA₁=h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积为V₁，V₂，
设BC=a，则AD=2a，∴VQ−AA1D=(1)/(3)•(1)/(2)•2a•h•d=(1)/(3)ahd，V_Q-ABCD=(1)/(3)•(a+2a)/(2)•d•(h)/(2)=(1)/(4)ahd，
∴V₂=(7)/(12)ahd，
∵V_棱柱=(3)/(2)ahd，
∴V₁=(11)/(12)ahd，
∴四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比(11)/(7)；
（Ⅲ）在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A₁E，则DE⊥平面AEA₁，∴DE⊥A₁E，
∴∠AEA₁为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角，
∵BC∥AD，AD=2BC，
∴S_△ADC=2S_△ABC，
∵梯形ABCD的面积为6，DC=2，
∴S_△ADC=4，AE=4，
∴tan∠AEA₁=(AA1)/(AE)=1，
∴∠AEA₁=(π)/(4)，
∴平面α与底面ABCD所成二面角的大小为(π)/(4)．