已知F1，F2是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0）的左、右焦点，若直线y=2x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2是矩形，则双曲线的离心率为（）A.5-25B.5+25C.5+25D.5-25

Question

已知F₁，F₂是双曲线C：

(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1(a>0，b>0）的左、右焦点，若直线y=2x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF₁QF₂是矩形，则双曲线的离心率为（　　）

A. 5-2

√(5)

B. 5+2

√(5)

C.

√(5+2√(5))

D.

√(5-2√(5))

Answer 1

由题意，矩形的对角线长相等，
y=2x代入(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1(a>0，b>0），可得x=±√((a2b2)/(b2-4a2))，y=±2√((a2b2)/(b2-4a2))，
∴(5a2b2)/(b2-4a2)=c²，
∴5a²b²=（b²-4a²）c²，
∴5a²（c²-a²）=（c²-5a²）c²，
∴e⁴-10e²+5=0，
∵e>1，∴e²=5+2√(5)，
∴e=√(5+2√(5))．
故选：C．