抛物线y=4x2-2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0<x1<x2）两点，与y轴交于点C．（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当

Question

抛物线y=4x²-2ax+b与x轴相交于A（x₁，0），B（x₂，0）（0<x₁<x₂）两点，与y轴交于点C．
（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
（3）是否存在整数a，b使得1<x₁<2和1<x₂<2同时成立，请证明你的结论．

Answer 1

（1）∵tan∠ABC=4
∴可以假设B（m，0），则A（m-2，0），C（0，4m），
∴可以假设抛物线的解析式为y=4（x-m）（x-m+2），
把C（0，4m）代入y=4（x-m）（x-m+2），得m=3，
∴抛物线的解析式为y=4（x-3）（x-1），
∴y=4x²-16x+12，

（2）如图，设P（m，4m²-16m+12）．作PH∥OC交BC于H．

∵B（3，0），C（0，12），
∴直线BC的解析式为y=-4x+12，
∴H（m，-4m+12），
∴S_△PBC=S_△PHC+S_△PHB=(1)/(2)•（-4m+12-4m²+16m-12）•3=-6（m-(3)/(2)）²+(27)/(2)，
∵-6<0，
∴m=(3)/(2)时，△PBC面积最大，
此时P（(3)/(2)，-3）．

（3）不存在．
理由：假设存在．由题意可知，

4-2a+b>0

16-4a+b>0

4a2-16b>0

且1<-(-2a)/(8)<2，
∴4<a<8，
∵a是整数，
∴a=5 或6或7，
当a=5时，代入不等式组，不等式组无解．
当a=6时，代入不等式组，不等式组无解．
当a=7时，代入不等式组，不等式组无解．
综上所述，不存在整数a、b，使得1<x₁<2和1<x₂<2同时成立．