求证二重积分的性质二?∫∫f(x,y)dσ=∫∫f(x,y)dσ+∫∫f(x,y)dσ,,其中左边的积分区域为D,右边的分别为D1+D2.其中D为D1与D2的并集

Question

求证二重积分的性质二?∫∫f(x,y)dσ=∫∫f(x,y)dσ+∫∫f(x,y)dσ,
,其中左边的积分区域为D,右边的分别为D1+D2.其中D为D1与D2的并集

Answer 1

将二重积分都转化为环路积分.其中用∮表示积分区域为D的边界,∮1表示积分区域为D1的边界,∮2表示积分区域为D2的边界.用∮11和∮22分别表示∮1和∮2在D内部的部分,用∮10和∮20分别表示∮1和∮2的其余部分
则∮=∮10 +∮20 =（∮1 -∮11）+（∮2 - ∮22）
由于∮11和∮22在D的内部,故∮11 +∮22 的环路积分为0.
因此∮=∮1 +∮2
因此该性质成立