在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：m2334…n1123…a22+1232+1232+2242+32…b461224…c

Question

在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：

m	2	3	3	4	…
n	1	1	2	3	…
a	22+12	32+12	32+22	42+32	…
b	4	6	12	24	…
c	22-12	32-12	32-22	42-32	…

其中m、n为正整数，且m>n．
（1）观察表格，当m=2，n=1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．
（2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a=___，b=___，c=___．
（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．

Answer 1

（1）当m=2，n=1时，a=5、b=4、c=3，
∵3²+4²=5²，
∴a、b、c的值能为直角三角形三边的长；
（2）观察得，a=m²+n²，b=2mn，c=m²-n²；
（3）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，
∵a²=（m²+n²）²=m⁴+2m²n²+n⁴，
b²+c²=m⁴-2m²n²+n⁴+4m²n²=m⁴+2m²n²+n⁴，
∴a²=b²+c²，
∴以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．