如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB=2，则AP+BP+CP的最小值为（）A.2+5B.2+6C.4D.32

Question

如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB=2，则AP+BP+CP的最小值为（　　）

A.

√(2)+√(5)

B.

√(2)+√(6)

C. 4

D. 3

√(2)

Answer 1

如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AEF，当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小．
理由：∵AP=AF，∠PAF=60°，
∴△PAF是等边三角形，
∴PA=PF=AF，EF=PB，
∴PA+PB+PC=EF+PF+PC，
∴当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小，
作EM⊥DA交DA的延长线于M，ME的延长线交CB的延长线于N，则四边形ABNM是矩形，
在RT△AME中，∵∠M=90°，∠MAE=30°，AE=2，
∴ME=1，AM=BN=√(3)，MN=AB=2，EN=1，
∴EC=√(EN2+NC2)=√(12+(√(3)+2)2)=√(8+4√(3))=√(6)+√(2)．
∴PA+PB+PC的最小值为√(6)+√(2)．
故选B．