在正方形ABCD中，点P在射线AB上，连结PC，PD，M，N分别为AB，PC中点，连结MN交PD于点Q．（1）如图1，当点P与点B重合时，求∠QMB的度数；（2）当点P在线段AB的延长

Question

 在正方形 ABCD 中，点 P 在射线 AB 上，连结 PC，PD，M，N 分别为 AB，PC 中点，

连结 MN 交 PD 于点 Q．

（1）如图 1，当点 P 与点 B 重合时，求∠QMB 的度数；

（2）当点 P 在线段 AB 的延长线上时.

①依题意补全图2

②小聪通过观察、实验、提出猜想：在点P运动过程中，始终有QP=QM.

小聪把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1延长BA到点 E，使AE=PB .要证QP=QM，只需证△PDA≌△ECB.

想法2：取PD  中点E  ，连结NE EA. 要证QP=QM只需证四边形NEAM  是平行四边形.

想 法3：过N 作 NE∥CB 交PB 于点 E ，要证QP=QM ，只要证明△NEM∽△DAP.

……

请你参考上面的想法，帮助小聪证明QP=QM. (一种方法即可) 

   

  图1               图2                    

Answer 1

  (1) 连结AC

∵四边形ABCD是正方形

∴∠D AB=90°

∴∠C AB=45°

点 M N  是 AB BC 中点                  

∴MN∥AC

∴∠NMB=∠C AB=45°  

∴∠QMB=∠C AB=45°       

(2)①略                 

②想法1：延长BA 到点E，使AE=PB

∴BE=AP

∵正方形ABCD

∴∠PAD=∠EBC=90°   AD=BC

∴△PDA≌△ECB                   

∠DPA=∠E

又点M  是AB  中点 AM=MB 又AE=BP

          ∴AM+EA=MB+BP                                          

∴EM=MP

∴M是EP中点                       

∴MN是△EPC的中位线

∴MN∥EC

∴∠E=∠NMP                                                                             

∴∠NMP=∠DPA即∠QMP=∠QPM

∴QM=QP                           

想法2：取PD  中点E，连结NE EA      

∵E N分别是PD PC  

∴EN∥CD EN=CD

又CD∥AB CD=AB

∴EN∥AB且EN=AB                                

∴EN=AM

∴四边形是NEAM是平行四边形      

∴EA∥MN

∴∠EAB=∠NMB                          

又点E  是Rt△DAP   斜边DP中点

∴AE=EP                                                     

∴∠EAB=∠EPA                

∴∠NMB=∠EPA

∴QM=QP              

想法3:过N 作 NE∥CB 交PB 于点 E ，

∵CB⊥AB

∴NE⊥AP

又∵N 是 PC中点

∴NE 是△CBP的中位线

∴NE=BC

又点E是B P中点

∴BE=BP MB=AB

∴ME=AP                 

∴           

∠NEM=∠DAP=90°

∴△NEM∽△DAP             

∴∠EMN=∠APD                                      

∴QM=QP