如图所示，水平固定放置的平行金属板M、N，两板间电势差为U，板间距离为d，两板间有竖直固定的半径为14d的绝缘光滑半圆形管道，管道圆心O在两板间中心（即圆心O到上、下板距离相等，

Question

如图所示，水平固定放置的平行金属板M、N，两板间电势差为U，板间距离为d，两板间有竖直固定的半径为(1)/(4)d的绝缘光滑半圆形管道，管道圆心O在两板间中心（即圆心O到上、下板距离相等，到板左、右端距离相等）．现有一质量为m、带正电荷、电荷量q=(2mgd)/(U)的小球从A处以速度v₀=√(gd)水平进入管道（小球直径略小于管道直径且两者直径均可忽略不计），小球离开管口B后恰好从平行金属板边界飞出．求：
（1）小球刚运动至B处时的速度大小；
（2）小球刚运动至B处时对管道的压力；
（3）平行金属板的长度L．

Answer 1

（1）小球受到的电场力：qE=q(U)/(d)=2mg，
小球受到的合力：F_合=qE-mg=mg，方向竖直向上，
设小球到达B点速度为v_B，小球从A到B由动能定理得：
F_合•2R=(1)/(2)mv_B²-(1)/(2)mv₀²，
解得：v_B=√(2gd)．
（2）设小球刚运动至B处时受管道的弹力为F_N，
由牛顿第二定律得：F_N+mg-qE=m(v2B)/(R)，
解得：F_N=9mg，
由牛顿第三定律得小球对管道的压力为9mg，方向竖直向上．
（3）从B点离开后做类平抛运动，竖直方向受到恒定作用力，水平方向做匀速直线运动，
水平方向：s=v_Bt   
竖直方向：a=(qE−mg)/(m)=g 
(1)/(4)d=(1)/(2)at² 
解得：s=d，
板长：L=2s=2d．
答：（1）小球刚运动至B处时的速度大小为√(2gd)；
（2）小球刚运动至B处时对管道的压力大小为9mg，方向竖直向上；
（3）平行金属板的长度L为2d．