求双曲线与渐近线、坐标原点的距离最小值双曲线4x^2-y^2=1上的动点P(x,y)到两渐近线的距离分别为d1、d2,到双曲线中心的距离为d3,试求d1+d2+d3的最小值.（你也可以画图上来看看,）我不是她舅的

Question

求双曲线与渐近线、坐标原点的距离最小值
双曲线4x^2-y^2=1上的动点P(x,y)到两渐近线的距离分别为d1、d2,到双曲线中心的距离为d3,试求d1+d2+d3的最小值.（你也可以画图上来看看,）
我不是她舅的答案是错误的！

Answer 1

过P做渐近线的垂线
和渐近线构成矩形
则PO是他的对角线
设到渐近线的距离是m和n
则三个d相加=a+b+√(a²+b²)
a+b>=2√(ab)
√(a²+b²)>=√(2ab)
都是a=b取等号
所以a=b时最小
到渐近线的距离相等,则此时P在顶点
x²/(1/4)-y²=1
a=1/2
右顶点(1/2,0)
b/a=2
所以渐近线y=±2x
所以距离=|1-0|/√(2²+1²)=1/√5
即a=b=1/√5
最小值=2√(ab)+2√(2ab)=(2√5+√10)/5