1、设ABCD为自然数,且a^2＋b^2＝c^2＋d^2,证：a＋b＋c＋d为合数2、若在三角形中,ab大于ac,ad平分角abc,p为ad上一点.证bd大于dc；pb大于pc；ab＋pc大于pb＋ac3、三角形三边abc,又a^2(b－c)＋b^2(c－a)＋c

Question

1、设A B C D 为自然数,且a^2＋b^2＝c^2＋d^2,证：a＋b＋c＋d为合数
2、若在三角形中,ab大于ac,ad平分角abc,p为ad上一点.
证 bd大于dc；pb大于pc；ab＋pc大于pb＋ac
3、三角形三边abc,又 a^2(b－c)＋b^2(c－a)＋c^2（a－b)＝0,判断三角形形状.
4、四个连续自然数的积加1为一完全平方数
5、三角形三边abc,又a^3＋b^3＋c^3＝3abc,证 次三角形为等边三角形.
6、若x^5－x^2＋1＝0,求x^3＝x^3／1
7、已知2^x＝a,2^y＝b,求2x＋y＋2^3x＋2y
8若a^3＋b^3＝35,a^2b－ab^2＝－6,求(a^3－b^3)＋(3ab^2－a^2－b^3)－2(ab^2－b^3)

Answer 1

1.
a^2和a同奇偶,b^2和b同奇偶
=> a^2+b^2和a+b同奇偶,又因为a^2+b^2=c^2+d^2
=> a+b和c+d同奇偶
=> a+b+c+d为偶数,又因为a+b+c+d不等于2
=> a+b+c+d是合数
2.
分析:在AB上取一点E,使AE=AC,连结PE,所以AB-AC=AB-AE=BE,在 PEB中,AB-AC>PB-PE,而PE=PC可证,思路畅通.
证明:在ABC中,
∵AB>AC
∴可在AB上取一点E,使AE=AC
∴AB-AE=AB-AC=BE
∵AD平分BAC
∴EAP=CAP
在AEP和ACP中
∴AEP≌ACP (SAS)
∴PE=PC
∵在BPE中
BE>BP-PE
∴AB-AC>PB-PC
注意:对于角平分线这一条件在添加辅助线时,常常采用翻折法的思想截长或补短.
第一种方法：
1)证明:在ab上取一点c',使ac'=ac,bc'=ab-ac'=ab-ac
由于pa是角bac的角平分线==>c'ap=pc'=pc
在▲pc'b中:pbpb-pc'pb=pb'
在▲pcb'中,两边之和大于第三边 ==>pb'