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如图,P为正△ABC内的一点,PA=2,PB=4,PC=23,求正三角形ABC的面积.
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如图,P为正△ABC内的一点,PA=2,PB=4,PC=2
,求正三角形ABC的面积.
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▼优质解答
答案和解析
∵△ABC为等边三角形,
∴CB=CA,∠ACB=60°,
∴把△CPA绕点C逆时针旋转60°可得到△CDB,如图,作CH⊥BD于H,
∴CD=CP=2
,∠PCD=60°,BD=AP=2,
∴△CPD为等边三角形,
∴∠PDC=60°,PD=CP=2
,
在△PDB中,PB=4,BD=2,PD=2
,
∵22+(2
)2=42,
∴BD2+PD2=PB2,
∴△PDB为直角三角形,
∴∠PDB=90°,
∴∠CDH=180°-90°-60°=30°,
在Rt△CDH中,CH=
CD=
,DH=
CH=3,
∴BH=BD+DH=2+3=5,
在Rt△BCH中,BC2=BH2+CH2=52+(
)2=28,
∴正三角形ABC的面积=
∴CB=CA,∠ACB=60°,
∴把△CPA绕点C逆时针旋转60°可得到△CDB,如图,作CH⊥BD于H,
∴CD=CP=2
3 |
∴△CPD为等边三角形,
∴∠PDC=60°,PD=CP=2
3 |
在△PDB中,PB=4,BD=2,PD=2
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∵22+(2
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∴BD2+PD2=PB2,
∴△PDB为直角三角形,
∴∠PDB=90°,
∴∠CDH=180°-90°-60°=30°,
在Rt△CDH中,CH=
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∴BH=BD+DH=2+3=5,
在Rt△BCH中,BC2=BH2+CH2=52+(
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∴正三角形ABC的面积=
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