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已知:四边形ABCD是正方形,点E在CD边上,点F在AD边上,且AF=DE.(1)如图1,判断AE与BF有怎样的位置关系?写出你的结果,并加以证明;(2)如图2,对角线AC与BD交于点O.BD,AC分别与AE,BF
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已知:四边形ABCD是正方形,点E在CD边上,点F在AD边上,且AF=DE.
(1)如图1,判断AE与BF有怎样的位置关系?写出你的结果,并加以证明;
(2)如图2,对角线AC与BD交于点O.BD,AC分别与AE,BF交于点G,点H.
①求证:OG=OH;
②连接OP,若AP=4,OP=
,求AB的长.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/023b5bb5c9ea15ce6a5e2cb8b5003af33b87b2cb.jpg)
(1)如图1,判断AE与BF有怎样的位置关系?写出你的结果,并加以证明;
(2)如图2,对角线AC与BD交于点O.BD,AC分别与AE,BF交于点G,点H.
①求证:OG=OH;
②连接OP,若AP=4,OP=
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/023b5bb5c9ea15ce6a5e2cb8b5003af33b87b2cb.jpg)
▼优质解答
答案和解析
(1)AE⊥BF.
理由如下:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=∠D=90°,
在△ABF和△DAE中,
,
∴△ABF≌△DAE(SAS),
∴∠DAE=∠ABF,
∵∠DAE+∠PAB=∠BAD=90°,
∴∠PAB+∠ABF=90°,
∴∠APB=180°-90°=90°,
∴AE⊥BF;
(2)①证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠AOB=∠AOG=90°,OA=OB,∠ABO=∠DAO=45°,
∵∠DAE=∠ABF(已证),
∴∠ABO-∠ABF=∠DAO-∠DAE,
即∠OAG=∠OBH,
在△OAG和△OBH中,
,
∴△OAG≌△OBH(ASA),
∴OG=OH;
②如图2,过点O作OM⊥AE于M,作ON⊥BF于N,
∵△OAG≌△OBH(已证),
∴∠OGA=∠OHB,
在△OGM和△OHN中,
,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/14ce36d3d539b600657ec306ea50352ac75cb7cb.jpg)
∴△OGM≌△OHN(AAS),
∴OM=ON,
∴四边形OMPN是正方形,
∵OP=
,
∴PM=OM=
理由如下:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=∠D=90°,
在△ABF和△DAE中,
|
∴△ABF≌△DAE(SAS),
∴∠DAE=∠ABF,
∵∠DAE+∠PAB=∠BAD=90°,
∴∠PAB+∠ABF=90°,
∴∠APB=180°-90°=90°,
∴AE⊥BF;
(2)①证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠AOB=∠AOG=90°,OA=OB,∠ABO=∠DAO=45°,
∵∠DAE=∠ABF(已证),
∴∠ABO-∠ABF=∠DAO-∠DAE,
即∠OAG=∠OBH,
在△OAG和△OBH中,
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∴△OAG≌△OBH(ASA),
∴OG=OH;
②如图2,过点O作OM⊥AE于M,作ON⊥BF于N,
∵△OAG≌△OBH(已证),
∴∠OGA=∠OHB,
在△OGM和△OHN中,
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/14ce36d3d539b600657ec306ea50352ac75cb7cb.jpg)
∴△OGM≌△OHN(AAS),
∴OM=ON,
∴四边形OMPN是正方形,
∵OP=
2 |
∴PM=OM=
作业帮用户
2016-12-16
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