如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，沿BD将△ABD翻折，得到三棱锥A-BCD，则当三棱锥A-BCD体积最大时，异面直线AD与BC所成的角的余弦值为（）A.58B.14C.1316D.23

Question

如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，沿BD将△ABD翻折，得到三棱锥A-BCD，则当三棱锥A-BCD体积最大时，异面直线AD与BC所成的角的余弦值为（　　）

A.

(5)/(8)

B.

(1)/(4)

C.

(13)/(16)

D.

(2)/(3)

Answer 1

△ABD、△CBD为边长为1的等边三角形，将△ABD沿BD翻折形成三棱锥A-BCD如图：

点A在底面BDC的投影在∠DCB的平分线CE上，则三棱锥A-BCD的高为△AEC过A点的高；
所以当平面ABD⊥平面BCD时，三棱锥A-BCD的高最大，体积也最大，此时AE⊥平面BCD；

求异面直线AD与BC所成的角的余弦值：

平移BC到DC′位置，|cos∠ADC′|即为所求，
AD=DC=1，AE=(√(3))/(2)，EC′=(√(7))/(2)，AC′=(√(10))/(2)
|cos∠ADC′|=|(1+1-(10)/(4))/(2×1×1)|=(1)/(4)，
所以异面直线AD与BC所成的角的余弦值为(1)/(4)，
故选B．