已知函数f(x)在（-∞,+∞）上连续切满足∫（0x）f(x-u)e^udu=sinx,x∈（-∞,+∞）,求f(x)

Question

已知函数f(x)在（-∞,+∞）上连续切满足∫（0 x）f(x-u)e^udu=sinx,x∈ （-∞,+∞）,求f(x)

Answer 1

∫（0 x）f(x-u)e^udu=sinx
令x-u=t,u=x-t,u=0,t=x,u=x,t=0,du=-dt
则原式化为
-∫[x,0]f(t)e^(x-t)dt=sinx
∫[0,x]f(t)e^(x-t)dt=sinx
e^x∫[0,x]f(t)e^(-t)dt=sinx
两边求导得
e^x∫[0,x]f(t)e^(-t)dt+f(x)e^(-x)=cosx
sinx+f(x)e^(-x)=cosx
f(x)e^(-x)=cosx-sinx
f(x)=(cosx-sinx)*e^x