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已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.(I)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);(Ⅱ)设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析表达式.
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已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.
(I)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
(Ⅱ)设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析表达式.
(I)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
(Ⅱ)设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析表达式.
▼优质解答
答案和解析
(I)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x
所以f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2
又由f(2)=3,得f(3-22+2)=3-22+2,即f(1)=1
若f(0)=a,则f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a.
(II)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.
又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0
所以对任意x∈R,有f(x)-x2+x=x0
在上式中令x=x0,有f(x0)-x02+x0=x0
又因为f(x0)=x0,所以x0-x02=0,故x0=0或x0=1
若x0=0,则f(x)-x2+x=0,即f(x)=x2-x
但方程x2-x=x有两个不相同实根,与题设条件矛盾.故x0≠0
若x0=1,则有f(x)-x2+x=1,即f(x)=x2-x+1,此时f(x)=x有且仅有一个实数1.
综上,所求函数为f(x)=x2-x+1(x∈R)
所以f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2
又由f(2)=3,得f(3-22+2)=3-22+2,即f(1)=1
若f(0)=a,则f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a.
(II)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.
又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0
所以对任意x∈R,有f(x)-x2+x=x0
在上式中令x=x0,有f(x0)-x02+x0=x0
又因为f(x0)=x0,所以x0-x02=0,故x0=0或x0=1
若x0=0,则f(x)-x2+x=0,即f(x)=x2-x
但方程x2-x=x有两个不相同实根,与题设条件矛盾.故x0≠0
若x0=1,则有f(x)-x2+x=1,即f(x)=x2-x+1,此时f(x)=x有且仅有一个实数1.
综上,所求函数为f(x)=x2-x+1(x∈R)
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