f'(x)=a,试证f(x)=ax+b

Question

f'(x)=a,试证f(x)=ax+b

Answer 1

f(1)=0,a+b+c=0,c=-(a+b)
f(x)=ax^2+bx-(a+b)
令f(x)=g(x),即ax^2+bx-(a+b)=ax+b
ax^2+(b-a)x-(a+2b)=0(*)
△=(b-a)^2+4a(a+2b)=5a^2+6ab+b^2=(a+b)(5a+b)
由a>b>c,a+b+c=0可知,a>0,c0,5a+b=4a+(a+b)>0
于是有△=(a+b)(5a+b)>0,方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数根,
所以函数f(x)和g(x)图像有两个交点.
|A1B1|的取值范围就是方程(*)中|x1-x2|的范围.
|x1-x2|=(√△)/a=√[5+6(b/a)+(b/a)^2]
当a>b>0时,0b>c时,由a=-b-c>-2b,-1/2