如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，OA=4，OC=3．点D为BC边上一点，以AD为一边在与点B的同侧作正方形ADEF，连接OE，当点D在边BC上运动时，OE的长度的最小值是多少？

Question

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，OA=4，OC=3．点D为BC边上一点，以AD为一边在与点B的同侧作正方形ADEF，连接OE，当点D在边BC上运动时，OE的长度的最小值是多少？

Answer 1

如图所示：过点D作DG⊥OA，过点E作HE⊥DG．

∵DG⊥OA，HE⊥DG，
∴∠EHD=∠DGA=90°．
∴∠GDA+∠DAG=90°．
∵四边形ADEF为正方形，
∴DE=AD，∠HDE+∠GDA=90°．
∴∠HDE=∠GAD．
在△HED和△GDA中

∠HDE=∠GAD

∠EHD=∠DGA

DE=AD

，
∴△HED≌△GDA．
∴HE=DG=3，HD=AG．
设D（a，3），则DC=a，DH=AG=4-a．
∴E（a+3，7-a）．
∴OE=√((a+3)2+(7-a)2)=√(2(a-2)2+50)．
当a=2时，OE有最小值，最小值为5√(2)．