如何证明方程x^2+y^2+z^2=(xyz)^2没有正整数解?

Question

如何证明方程x^2+y^2+z^2=(xyz)^2没有正整数解?

Answer 1

xx=a
yy=b
zz=c
1/ab+1/bc+1/ac=1
不妨设
a>=b>=c
3/cc>=1/ab+1/bc+1/ac=1
cc=b
1＋a+b＝ab
1＋b=a(1-b)>=b(b-1)
b=yy正是整数
b=1,2
b=yy完全平方
b=1
2＋a=2a
a=2
a=xx矛盾
无解