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请阅读下列材料:实际问题:如图(1),一圆柱的底面半径为5厘米,BC是底面直径,高AB为5厘米,求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线,小明设计了两条路线.解决方案:
题目详情
请阅读下列材料:
实际问题:如图(1),一圆柱的底面半径为5厘米,BC是底面直径,高AB为5厘米,求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线,小明设计了两条路线.
解决方案:
路线1:侧面展开图中的线段AC,如图(2)所示,设路线l的长度为l1:则l12=AC2=AB2+BC2=52+(5π)2=25+25π2
路线2:高线AB+底面直径BC,如图(1)所示.
设路线2的长度为l2:则l2=AB+BC=5+10=15,l22=225.
为比较l1,l2的大小,我们采用如下方法:
∵l12-l22=25+25π2-225=25π2-200=25(π2-8)>0.
∴l12>l22,所以l1>l2,
小明认为应选择路线2较短.
(1)问题类比:
小明对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成:“圆柱的底面半径为1厘米,高AB为5厘米.”继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算:
路线1:l12=AC2=______;
路线2:l2=AB+BC=______,l22=______.
∵l12______l22,∴l1______l2(填“>”或“<”)
∴小亮认为应选择路线______(填1或2)较短.
(2)问题拓展:
请你帮小明和小亮继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r厘米时,高为h厘米,蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C,
路线1:l12=______;
路线2:l22=______.
当
满足什么条件时,选择的路2最短?请说明理由.
(3)问题解决:
如图(3)为2个相同的圆柱紧密排列在一起,高为5厘米,当圆柱的底面半径r(厘米)=
时,蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条线段相等(注:按上面小明所设计的两条路线方式).
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/42a98226cffc1e170158cacb4990f603728de961.jpg)
实际问题:如图(1),一圆柱的底面半径为5厘米,BC是底面直径,高AB为5厘米,求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线,小明设计了两条路线.
解决方案:
路线1:侧面展开图中的线段AC,如图(2)所示,设路线l的长度为l1:则l12=AC2=AB2+BC2=52+(5π)2=25+25π2
路线2:高线AB+底面直径BC,如图(1)所示.
设路线2的长度为l2:则l2=AB+BC=5+10=15,l22=225.
为比较l1,l2的大小,我们采用如下方法:
∵l12-l22=25+25π2-225=25π2-200=25(π2-8)>0.
∴l12>l22,所以l1>l2,
小明认为应选择路线2较短.
(1)问题类比:
小明对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成:“圆柱的底面半径为1厘米,高AB为5厘米.”继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算:
路线1:l12=AC2=______;
路线2:l2=AB+BC=______,l22=______.
∵l12______l22,∴l1______l2(填“>”或“<”)
∴小亮认为应选择路线______(填1或2)较短.
(2)问题拓展:
请你帮小明和小亮继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r厘米时,高为h厘米,蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C,
路线1:l12=______;
路线2:l22=______.
当
r |
h |
(3)问题解决:
如图(3)为2个相同的圆柱紧密排列在一起,高为5厘米,当圆柱的底面半径r(厘米)=
10 |
π2−4 |
10 |
π2−4 |
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/42a98226cffc1e170158cacb4990f603728de961.jpg)
▼优质解答
答案和解析
(1)如图(2).
∵圆柱的底面半径为1厘米,高AB为5厘米,
∴路线1:l12=AC2=AB2+BC2=25+π2;
路线2:l2=AB+BC=5+2=7,l22=(AB+BC)2=49.
∵l12-l22=25+π2-49=π2-24<0,
∴l12<l22,
∴l1<l2,
∴选择路线1较短;
(2)如图(2).
∵圆柱的底面半径为r厘米,高为h厘米,
∴路线1:l12=AC2=AB2+BC2=h2+(πr)2=h2+π2r2,
路线2:l22=(AB+BC)2=(h+2r)2,
∴l12-l22=h2+(πr)2-(h+2r)2=r(π2r-4r-4h)=r[(π2-4)r-4h];
∵r恒大于0,
∴当(π2-4)r-4h>0,即
>
时,l12>l22,即此时选择的路2最短;
(3)如图(3),圆柱的高为5厘米.
l12=AC2=AB2+BC2=25+(2πr)2,
l22=(AB+BC)2=(5+4r)2,
由题意,得25+(2πr)2=(5+4r)2,
解得r=
.
即当圆柱的底面半径r为
厘米时,蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条线段相等.
故答案为:25+π2,7,49,<,<1;h2+π2r2,(h+2r)2;
.
∵圆柱的底面半径为1厘米,高AB为5厘米,
∴路线1:l12=AC2=AB2+BC2=25+π2;
路线2:l2=AB+BC=5+2=7,l22=(AB+BC)2=49.
∵l12-l22=25+π2-49=π2-24<0,
∴l12<l22,
∴l1<l2,
∴选择路线1较短;
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/42a98226cffc1e170158cacb4990f603728de961.jpg)
∵圆柱的底面半径为r厘米,高为h厘米,
∴路线1:l12=AC2=AB2+BC2=h2+(πr)2=h2+π2r2,
路线2:l22=(AB+BC)2=(h+2r)2,
∴l12-l22=h2+(πr)2-(h+2r)2=r(π2r-4r-4h)=r[(π2-4)r-4h];
∵r恒大于0,
∴当(π2-4)r-4h>0,即
r |
h |
4 |
π2−4 |
(3)如图(3),圆柱的高为5厘米.
l12=AC2=AB2+BC2=25+(2πr)2,
l22=(AB+BC)2=(5+4r)2,
由题意,得25+(2πr)2=(5+4r)2,
解得r=
10 |
π2−4 |
即当圆柱的底面半径r为
10 |
π2−4 |
故答案为:25+π2,7,49,<,<1;h2+π2r2,(h+2r)2;
10 |
π2−4 |
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