设函数α，β∈[−π2，π2]，且αsinα-βsinβ＞0，则下列不等式必定成立的是（）A.α＞βB.α＜βC.α+β＞0D.α2＞β2

Question

设函数α，β∈[−(π)/(2)，(π)/(2)]，且αsinα-βsinβ＞0，则下列不等式必定成立的是（　　）
A. α＞β
B. α＜β
C. α+β＞0
D. α²＞β²

Answer 1

令f（x）=xsinx，x∈[−(π)/(2)，(π)/(2)]，
∵f（-x）=-x•sin（-x）=x•sinx=f（x），
∴f（x）=xsinx，x∈[−(π)/(2)，(π)/(2)]为偶函数．
又f′（x）=sinx+xcosx，
∴当x∈[0，(π)/(2)]，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈[0，(π)/(2)]单调递增；
同理可证偶函数f（x）=xsinx在x∈[-(π)/(2)，0]单调递减；
∴当0≤|β|＜|α|≤(π)/(2)时，f（α）＞f（β），即αsinα-βsinβ＞0，反之也成立；
故选D．