将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片△ABC和△DEF．将这两张三角形胶片重新摆放，使顶点B与顶点E重合，如图②，这时AC与DF相交于点O．（1）如图②，

Question

将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片△ABC和△DEF．将这两张三角形胶片重新摆放，使顶点B与顶点E重合，如图②，这时AC与DF相交于点O．

（1）如图②，点B（E），C，D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是 ___ ．
（2）在图②中，将当△DEF绕点B顺时针旋转至如图③位置，这时（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）在图③中，连接BO，AD，探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明．

Answer 1

（1）∠AFD=∠DCA（或相等）．
（2）∠AFD=∠DCA（或成立），理由如下：
方法一：由△ABC≌△DEF，得AB=DE，BC=EF（或BF=EC），∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF，
∴∠ABF=∠DEC．
在△ABF和△DEC中，

AB=DE

∠ABF=∠DEC

BF=EC

∴△ABF≌△DEC（SAS），∠BAF=∠EDC．
∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC，∠FAC=∠CDF．
∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA，
∴∠AFD=∠DCA．
方法二：连接AD．同方法一△ABF≌△DEC，
∴AF=DC．
由△ABC≌△DEF，得FD=CA．
在△AFD和△DCA中，

AF=DC

FD=CA

AD=DA

∴△AFD≌△DCA（SSS），∠AFD=∠DCA．
（3）如图，BO⊥AD．
方法一：由△ABC≌△DEF，点B与点E重合，
得∠BAC=∠BDF，BA=BD．
∴点B在AD的垂直平分线上，
且∠BAD=∠BDA．
∵∠OAD=∠BAD-∠BAC，∠ODA=∠BDA-∠BDF，
∴∠OAD=∠ODA．
∴OA=OD，点O在AD的垂直平分线上．
∴直线BO是AD的垂直平分线，BO⊥AD．
方法二：延长BO交AD于点G，同方法一，OA=OD．
在△ABO和△DBO中，

AB=DB

BO=BO

OA=OD

∴△ABO≌△DBO（SSS），∠ABO=∠DBO．
在△ABG和△DBG中，

AB=DB

∠ABG=∠DBG

BG=BG

∴△ABG≌△DBG（SAS），∠AGB=∠DGB=90°．
∴BO⊥AD．