已知非空集合M真包含于N,并且满足条件“任意x∈M都有n-x∈M"如果n≥2,那么满足条件的M共有几个?

Question

已知非空集合M真包含于N,并且满足条件“任意x∈M都有n-x∈M" 如果n≥2,那么满足条件的M共有几个?

Answer 1

N是自然数集{0,1,2,...}那个条件说明M中的任一元素与它关于1对称的那个值都属于M当n=2时,M可以是{1},{0,2},{0,1,2}共3个推广到任一n≥2（1）若n为偶数M可取：单元素集{n/2} 1个2元素集{0,n},{1,n-1}...{(n/2)-1,(n/2)+1},共n/2个3元素集 {0,1,n},...{0,(n/2)-1,(n/2)+1},共n/2个4元素集（从n/2个2元素集中任取2个集合组成）共 组合数(n/2) C 2 个2k元素集 共组合数(n/2) C k个,k∈N*2k+1元素集 共组合数(n/2) C k个,k∈N*……n+1元素集 共(n/2) C (n/2)=1个加起来就是1+[(n/2)C1+...+(n/2)C(n/2)]*2=2^(n/2+1)-1（2）若n为奇数则M可取：1元素集0个2元素集{0,n}...{(n-1)/2,(n+1)/2}共(n+1)/2个3元素集0个2k元素集共 组合数 [(n+1)/2] C k个2k+1元素集共0个……n+1元素集共 [(n+1)/2] C[(n+1)/2] =1个故累加得 [(n+1)/2] C1+...+[(n+1)/2] C[(n+1)/2]=2^[(n+1)/2]-1个 综上所述在n≥2时当n为偶数时M有2^(n/2+1)-1个当n为奇数时M有2^[(n+1)/2]-1个