若方程e^x=ax^2恰有一个实根,则a满足的条件为

Question

若方程e^x=ax^2恰有一个实根,则a满足的条件为

Answer 1

首先,等式两边分别看做两个函数,有一个实根,也就是两个函数有一个交点
由于e^x >0 ,所以 二次函数ax^2的开口要向上,也就是 a>0
再来,
令 f(x) = e^x - ax^2
则问题转化为求 f(x) = 0 有一个实根,求a的取值范围
对 f(x) 求导,有 f'(x) = e^x - 2ax
再求导,有 f''(x) = e^x - 2a
令 f''(x) = e^x - 2a =0 有 x = ln2a
则 当 x < ln2a 时,f''(x) ln2a 时,f''(x)>0
所以 当 x= ln2a 时,f'(x) 取得极小值,
有 f'(x)min = f'(ln2a)= e^(ln2a) - 2a(ln2a) = 2a ( 1- ln2a) =2a ln (e/2a)
（1）
当 e/2a > 1,即 a < e/2 时,f'(x)min > 0,则在定义域内f(x)单调递增
由于对 f(x) = e^x - ax^2 有 f(-∞）0,
则 f(x)在（-∞,0）之间必有1个0根,在[0,+∞）没有0根
故 0 < a< e/2 可保证方程e^x=ax^2恰有一个实根
（2）
当 e/2a =1,即 a = e/2 时,f'(x) min= 0
算到这里困了,做个记号吧,明天再解,同求答案.