已知函数f(log2x)＝x2+2x．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（II）若方程f（x）=a•2x-4在（0，2）有两个不相等的实根，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f(log2x)＝x2+2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（II）若方程f（x）=a•2^x-4在（0，2）有两个不相等的实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）设t=log₂x，t∈R，则x=2^t．
∵函数f(log2x)＝x2+2x．
∴f（t）=2^2t+2•2^t
∴把t换成x可得：f（x）=2^2x+2•2^x
（2）方程f（x）=a•2^x-4在（0，2）有两个不相等的实根⇔2^2x+（2-a）•2^x+4=0，在（0，2）有两个不等实根，
令2^x=m，h（m）=m²+（2-a）m+4，
∵x∈（0，2），∴m∈（1，4）．
∴函数h（m）在（1，4）上有两个不等实数根，
必有

△＝(2−a)2−16＞0

h(1)＝1+(2−a)+4＞0

h(4)＝16+4(2−a)+4＞0

1＜(a−2)/(2)＜4

，解得6＜a＜7．
∴实数a的取值范围是（6，7）．