如图，AB，AC，AD是圆中的三条弦，点E在AD上，且AB=AC=AE．请你说明以下各式成立的理由：（1）∠CAD=2∠DBE；（2）AD2-AB2=BD•DC．

Question

如图，AB，AC，AD是圆中的三条弦，点E在AD上，且AB=AC=AE．请你说明以下各式成立的理由：

（1）∠CAD=2∠DBE；
（2）AD²-AB²=BD•DC．

Answer 1

证明：（1）延长BE交圆于点F，
∴∠DBF=∠1
∵AB=AE
∴∠ABE=∠AEB=∠1+∠F
∴

AF

＝

AC

+

CF

＝

AB

+

DF

∵AB=AC
∴

AB

＝

AC

∴

CF

＝

DF

∴点F是

CD

的中点
∴∠DAC=2∠1
∴∠CAD=2∠DBE；
（2）连接BC交AD于点G，
∵AB=AC
∴∠2=∠5，∠BAG=∠DAB，
∴△BAG∽△DAB．
∴AB²=AG•AD．
∴AD²-AB²=AD²-AG•AD=AD（AD-AG）=AD•DG，
∵∠5=∠ADC，∠DBG=∠DAC，
∴△BDG∽△ADC．
∴(BD)/(AD)＝(DG)/(DC)，
∴AD•DG=BD•DC．
∴AD²-AB²=BD•DC．