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如图,⊙O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC的延长线于点E,AC∥DE交BD于点H,DO及延长线分别交AC、BC于点G、F.(1)求证:DF垂直平分AC;(2)求证:FC=CE;(3)若弦AD=5cm,AC=8cm,求⊙O的半径.
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如图,⊙O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC的延长线于点E,AC∥DE交BD于点H,DO及延长线分别交AC、BC于点G、F.
(1)求证:DF垂直平分AC;
(2)求证:FC=CE;
(3)若弦AD=5cm,AC=8cm,求⊙O的半径.
(1)求证:DF垂直平分AC;
(2)求证:FC=CE;
(3)若弦AD=5cm,AC=8cm,求⊙O的半径.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵DE是⊙O的切线,且DF过圆心O,
∴DF是⊙O的直径所在的直线,
∴DF⊥DE,
又∵AC∥DE,
∴DF⊥AC,
∴G为AC的中点,即DF平分AC,则DF垂直平分AC;(2分)
(2)证明:由(1)知:AG=GC,
又∵AD∥BC,
∴∠DAG=∠FCG;
又∵∠AGD=∠CGF,
∴△AGD≌△CGF(ASA),(4分)
∴AD=FC;
∵AD∥BC且AC∥DE,
∴四边形ACED是平行四边形,
∴AD=CE,
∴FC=CE;(5分)
(3)连接AO,
∵AG=GC,AC=8cm,
∴AG=4cm;
在Rt△AGD中,由勾股定理得GD2=AD2-AG2=52-42=9,
∴GD=3;(6分)
设圆的半径为r,则AO=r,OG=r-3,
在Rt△AOG中,由勾股定理得AO2=OG2+AG2,
有:r2=(r-3)2+42,
解得r=
,(8分)
∴⊙O的半径为
cm.
∴DF是⊙O的直径所在的直线,
∴DF⊥DE,
又∵AC∥DE,
∴DF⊥AC,
∴G为AC的中点,即DF平分AC,则DF垂直平分AC;(2分)
(2)证明:由(1)知:AG=GC,
又∵AD∥BC,
∴∠DAG=∠FCG;
又∵∠AGD=∠CGF,
∴△AGD≌△CGF(ASA),(4分)
∴AD=FC;
∵AD∥BC且AC∥DE,
∴四边形ACED是平行四边形,
∴AD=CE,
∴FC=CE;(5分)
(3)连接AO,
∵AG=GC,AC=8cm,
∴AG=4cm;
在Rt△AGD中,由勾股定理得GD2=AD2-AG2=52-42=9,
∴GD=3;(6分)
设圆的半径为r,则AO=r,OG=r-3,
在Rt△AOG中,由勾股定理得AO2=OG2+AG2,
有:r2=(r-3)2+42,
解得r=
25 |
6 |
∴⊙O的半径为
25 |
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