如图，△ABD是O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是O的切线；（2）若O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．

Question

如图，△ABD是 O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是 O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．

（1）求证：BC是 O的切线；
（2）若 O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OB，如图所示：
∵E是弦BD的中点，
∴BE=DE，OE⊥BD，

BF

=

DF

=(1)/(2)

BD

，
∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，
∵∠DBC=∠A，
∴∠BOE=∠DBC，
∴∠OBE+∠DBC=90°，
∴∠OBC=90°，
即BC⊥OB，
∴BC是 O的切线；
（2） ∵OB=6，BC=8，BC⊥OB，
∴OC=√(OB2+BC2)=10，
∵△OBC的面积=(1)/(2)OC•BE=(1)/(2)OB•BC，
∴BE=(OB•BC)/(OC)=(6×8)/(10)=4.8，
∴BD=2BE=9.6，
即弦BD的长为9.6．