如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠ACD=12∠AOC，AD⊥CD于点D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=10，AD=2，求AC的长．

Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠ACD=(1)/(2)∠AOC，AD⊥CD于点D．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=10，AD=2，求AC的长．

Answer 1

（1）∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠AOC+∠OCA+∠OAC=180°，
∴∠AOC+2∠OCA=180°，
∴(1)/(2)∠AOC+∠OCA=90°，
∵∠ACD=(1)/(2)∠AOC，
∴∠ACD+∠OCA=90°，即∠DCO=90°，
又∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线； …（3分）

（2）过点A作AE⊥OC，垂足为E，可得∠AEC=90°，
由（1）得∠DCO=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴四边形DCEA是矩形，又AD=2，
∴CE=AD=2，…（4分）
∵AB是直径，且AB=10，
∴OA=OC=5，
∴OE=OC-CE=5-2=3，
∴在Rt△AEO中，OA=5，OE=3，
根据勾股定理得：AE=√(OA2−OE2)=4，…（5分）
∴在Rt△ACE中，CE=2，AE=4，
根据勾股定理得：AC=√(CE2+AE2)=2√(5)．…（6分）