如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．下列判断正确的有（）①

Question

如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．
下列判断正确的有（　　）
①△ABE≌△DCE；②BE=EC；③BE⊥EC；④EC=√(5)DE．

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer 1

∵AC=2AB，点D是AC的中点，
∴CD=(1)/(2)AC=AB，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE，
∠BAE=90°+45°=135°，∠CDE=180°-45°=135°，
∴∠BAE=∠CDE，
在△ABE和△DCE中，

AB＝CD

∠BAE＝∠CDE

AE＝DE

，
∴△ABE≌△DCE（SAS），故①小题正确；
∴BE=EC，∠AEB=∠DEC，故②小题正确；
∵∠AEB+∠BED=90°，
∴∠DEC+∠BED=90°，
∴BE⊥EC，故③小题正确；
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AD=√(2)DE，
∵AC=2AB，点D是AC的中点，
∴AB=√(2)DE，AC=2√(2)DE，
在Rt△ABC中，BC²=AB²+AC²=（√(2)DE）²+（2√(2)DE）²=10DE²，
∵BE=EC，BE⊥EC，
∴BC²=BE²+EC²=2EC²，
∴2EC²=10DE²，
解得EC=√(5)DE，故④小题正确，
综上所述，判断正确的有①②③④共4个．
故选D．