已知连续型随机变量X的分布函数为F（x）=0，x≤0A+Be−x22，x＞0，求：（1）常数A，B的值；（2）随机变量X的密度函数f（x）；（3）P（2＜X＜2）．

Question

已知连续型随机变量X的分布函数为F（x）=

0，  x≤0

A+Be−(x2)/(2)，x＞0

，求：
（1）常数A，B的值；
（2）随机变量X的密度函数f（x）；
（3）P（√(2)＜X＜2）．

Answer 1

（1）由于连续型随机变量分布函数是连续函数，因此F（x）在x=0连续，即

lim

x→0+

(A+Be−(x2)/(2))＝F(0)＝0
∴A+B=0
又

lim

x→+∞

F(x)＝1
∴

lim

x→+∞

[A+Be−(x2)/(2)]＝A＝1
∴A=1，B=-1
（2）由（1）知F(x)＝1−e(−x2)/(2)，x∈R
∴随机变量X的密度函数f（x）=[F(x)]′＝[1−e−(x2)/(2)]′＝xe−(x2)/(2)
（3）由于P（√(2)＜X＜2）=F（2）-F(√(2))=（1-e^-2）-（1-e^-1）=e^-1-e^-2