连续型随机变量X密度函数关于x=a对称,证明E(X)=a

Question

连续型随机变量X密度函数关于x=a对称,证明E(X)=a

Answer 1

f(x-a)=f(a-x)
f(x)=f(2a-x)
∫(-∞,+∞)f(x)dx=∫(-∞,a)f(x)dx+∫(a,+∞)f(x)dx==∫(a,+∞)f(2a-x)dx+∫(a,+∞)f(x)dx=2∫(a,+∞)f(x)=1
∴∫(a,+∞)f(x)=1/2
E(x)=∫(-∞,+∞)f(x)xdx=∫(-∞,a)f(x)xdx+∫(a,+∞)f(x)xdx
=∫(+∞,a)f(2a-x)(2a-x)d(2a-x)+∫(a,+∞)f(x)xdx
=∫(a,+∞)f(2a-x)(2a-x)dx+∫(a,+∞)f(x)xdx
=∫(a,+∞)f(x)(2a-x)dx+∫(a,+∞)f(x)xdx
=∫(a,+∞)f(x)2adx
=2a∫(a,+∞)f(x)dx
=a
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