等差数列{an}中,已知a1>0,前n项和Sn满足S7=S13,当n为何值时,Sn最大?设{an}为等差数列,Sn为{an}的前n项和,S7=7,S15=75,已知Tn为数列{Sn/n}的前n项和,求Tn.

Question

等差数列{an}中,已知a1>0,前n项和Sn满足S7=S13,当n为何值时,Sn最大?
设{an}为等差数列,Sn为{an}的前n项和,S7=7,S15=75,已知Tn为数列{Sn/n}的前n项和,求Tn.

Answer 1

(1)方法一：S7=S13,S8=S12,S9=S11,最大项S10
方法二：S7=S13
7a1+21d=13a1+78d
a1=-9.5d>0,d=0时Sn取最大值
所以n=10
(2)
Sn=n*a1+n*(n-1)/2*d
S7=7,S15=75
解得
a1=-2
d=1
因为1^2+2^2+3^2+...+n^2=n*(n+1)*(2n+1)/6 (可用数学归纳法证明,但考试中可以直接用)
Sn=-2n+(n^2-n)/2=(n^2-5n)/2
Tn=1/2(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-1/2(5+10+...+5n)
=n*(n+1)*(2n+1)/12-5n（n+1）/4