设矩阵A与B相似，且A=11124−2−3−3a，B=20002000b．（1）求a、b的值；（2）求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．

Question

设矩阵A与B相似，且A=

1	1	1
2	4	−2
−3	−3	a

，B=

2	0	0
0	2	0
0	0	b

．
（1）求a、b的值；
（2）求可逆矩阵P，使得P^-1AP=B．

Answer 1

（1）
∵A的特征多项式为：
|λE−A|＝

.

λ−1	−1	−1
−2	λ−4	2
3	3	λ−a

.

=（λ-2）[λ²-（a+3）λ+3（a-1）]，
B的特征多项式为：
|λE−B|＝

.

λ−2	0	0
0	λ−2	0
0	0	λ−b

.

=（λ-2）²（λ-b），
而A与B相似，故它们的特征多项式相同，
∴（λ-2）[λ²-（a+3）λ+3（a-1）]=（λ-2）²（λ-b），
解得a=5，b=6．

（2）
由（1）知，A的特征值为：λ₁=λ₂=2，λ₃=6，
①当λ₁=λ₂=2时，
求解齐次线性方程组（2E-A）x=0，解得其基础解系为：
α1＝(1，−1，0)T，α2＝(1，0，1)T，
②当λ₃=6时，
求解齐次线性方程组（6E-A）x=0，解得其基础解系为：
α3＝(1，−2，3)T，
于是，令：P＝(α1，α2，α3)＝

1	1	1
−1	0	−2
0	1	3

，
则有：P^-1AP=B．