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自然数a和b互素求a+b与a^2+b^2的最大公约数
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自然数a和b互素求a+b与a^2+b^2的最大公约数
▼优质解答
答案和解析
设a+b与a²+b²的最大公约数为d
则有d | a+b,d | a²+b²
故d | (a+b)²-(a²+b²) = 2ab
进而d | 2b(a²+b²) - 2ab·a = 2b³
同理有d | 2a³
注意到a、b互质,即(a,b) = 1
所以d | (2a³,2b³) = 2(a,b)³ = 2
推出d = 1或2
（a=1,b=2表明可取d=1,a=1,b=3表明可取d=2,所以d = 1或2）
则有d | a+b,d | a²+b²
故d | (a+b)²-(a²+b²) = 2ab
进而d | 2b(a²+b²) - 2ab·a = 2b³
同理有d | 2a³
注意到a、b互质,即(a,b) = 1
所以d | (2a³,2b³) = 2(a,b)³ = 2
推出d = 1或2
（a=1,b=2表明可取d=1,a=1,b=3表明可取d=2,所以d = 1或2）
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