分析方程lnx=1/3x的根的数目

Question

分析方程lnx=1/3x的根的数目

Answer 1

令f(x)=lnx-1/3x
f'(x)=1/x-1/3=0
=(3-x)/x=0
x<3,f'(x)>0
x>3,f'(x)<0
即
（0,3）递增；（3,+∞）递减
所以最多2个根；
且x=3取最大值
f(3)=ln3-1>0
x->0+
f(0+)=-∞
f(e^2)=2-1/3 e^2<0
所以
由零点定理,知
在（0,3）之间一个根；
（3,e^2）之间一个根
所以
共2个根.