有一个边长为24厘米的正方形铁皮,如果在它的四个角上各剪去一个小正方形,就可以做成一个无盖的纸盒.有一块边长为24厘米的正方形铁皮,如果在它的四个角上各剪去一个小正方形,就可以做

Question

有一个边长为24厘米的正方形铁皮,如果在它的四个角上各剪去一个小正方形,就可以做成一个无盖的纸盒.
有一块边长为24厘米的正方形铁皮,如果在它的四个角上各剪去一个小正方形,就可以做成一个无盖的纸盒.现在要是做成的纸盒容积最大,减去的小正方形的边长应是多少厘米?最大容积是多少?（不考虑铁皮厚度）

Answer 1

设减去小正方形边长为x cm,容积f(x)=(24-2x)^2*x=4x^3-96x^2+576x
对其求一阶导数,设为U=12x^2-192x+576=12(x-4)*(x-12),令u=0,求得x1=4,x2=12.对u求二阶导数,设为d=24x-192
将x1,x2代入上式,x1=4时,d小于0,f(x)有最大值,f(x)最大值为1024cm^3.
综上所述,减去正方形边长为4cm,最大容积为1024cm^3.