设n（n>=3）阶方阵A为正对角线为1,其余为a的方阵.A的秩为n-1,求a.

Question

设n（n>=3）阶方阵A为正对角线为1,其余为a的方阵.A的秩为n-1,求a.

Answer 1

先求出 A 的行列式
|A| = (a+n-1)(1-a)^(n-1)
因为 r(A) = n-1
所以 |A| = 0
所以 a = 1-n 或 a =1.
若 a=1,则 r(A) = 1,与 r(A)=n-1 不符.
所以 a = 1-n.